Il diagramma circolare consente di valutare, per ogni punto di funzionamento della macchina, tutte le caratteristiche, come ad esempio la corrente assorbita, lo sfasamento, la coppia, la potenza assorbita, ecc.

Nel §11_ si è verificato che, al variare dello scorrimento, e quindi della velocità di rotazione del rotore rispetto al campo magnetico rotante, sia le correnti di rotore, sia quelle di statore ad esse legate, hanno il loro estremo che insiste su una circonferenza, il cui diametro è la corrente che corrisponde allo scorrimento infinito (s=∞).

Figura 1) Digramma delle correnti, nel funzionamento completo della macchina asincrona, tracciato in base al 1° schema della fig. 2.

Per riferirci al diagramma delle correnti di statore e, in particolare, al funzionamento della macchina come motore, si consideri lo schema equivalente, con i parametri rotorici riportati allo statore (si ricorda che per portare un’impedenza dal rotore allo statore occorre moltiplicarla per n², essendo per definizione n = E₁/E₂(1) ), secondo quanto risulta dalla fig.2.

Figura 2) Lo schema del motore con rotore separato dallo statore e, in basso, lo schema equivalente semplificato, riportato a statore.

Si ricorda che la resistenza rotorica R₂/s, riportata a statore, tiene conto della resistenza complessiva rotorica, cioè carico + resistenza di fase del rotore (vi si impegna tutta la potenza sincrona).

La X_e’ è invece la somma della X₁ e della X₂(1) riportata allo statore e valgono le seguenti espressioni

Nello schema equivalente semplificato della macchina, con riporto delle grandezze rotoriche allo statore, si è spostato il ramo trasversale a monte della R₁ e X₁: pertanto la macchina viene considerata funzionante a flusso costante, qualunque sia il carico del motore.

Questa semplificazione operativa porta a una peggiore approssimazione rispetto a quanto accade per il trasformatore, a causa della presenza non trascurabile, qui, della corrente a vuoto I_o. Tuttavia, per le applicazioni, quest’ipotesi semplificativa non altera sostanzialmente le conclusioni che si desidera raggiungere. In particolare, se lo scorrimento è basso, gli errori si riducono.

Dallo schema in basso di fig. 2 si può inoltre dedurre che, per la condizione di s=∞, si ha la seguente situazione

per cui la corrente di reazione non si va a collocare a 90° in ritardo rispetto alla U₁ (come accadeva lavorando con lo schema di statore, separato da quello di rotore della fig. 2 in alto). Il ritardo è deducibile dall’angolo ψ(∞) ed è inferiore a 90°, tanto più quanto maggiore è la resistenza dell’avvolgimento di statore R₁. Naturalmente con s=∞ è nulla la resistenza complessiva che proviene dal rotore.

La corrente di reazione statorica a cui corrisponde lo scorrimento s=∞ si colloca quindi più in alto sul cerchio, rispetto al diagramma circolare ricavato in precedenza per la fig. 1 (come si può vedere dal diagramma di fig. 3, il punto s=±∞ si è spostato dalla posizione S discussa in precedenza, al punto H).

 

Per costruire il diagramma circolare delle correnti statoriche occorre ricordare che il cerchio si può individuare sapendo che, in particolare, la corrente a vuoto I_o e quella di spunto I_cc insistono su una circonferenza. Per il tracciamento occorre conoscere, come già si è detto:

· la misura della resistenza di fase R_1T dell’avvolgimento di statore (riportata alla temperatura convenzionale di 75°C);

· la corrente assorbita I_o e il relativo sfasamento φ_o dedotti dalla prova a vuoto;

· la corrente statorica di avviamento I_cc e il relativo sfasamento φ_cc riportati alla temperatura convenzionale, dedotti dalla prova in corto circuito.

· Si stabilisce la scala delle correnti, ad esempio

Seguendo ora la costruzione secondo la simbologia della fig. 3, intendendo rappresentare per il momento sull’asse delle ordinate la tensione di fase del motore, si collocano in scala, e con gli sfasamenti ricavati, sia la corrente I_o, a cui corrisponde s≈0, sia la corrente all’avviamento I_cc, per la quale è s=1.

Ø Si congiungono i loro estremi che, si sa, apparterranno al cerchio e quindi il segmento P_oP_cc sarà una corda del cerchio da costruire.

Ø L’asse della corda P_oP_cc, che occorre tracciare in figura, passa per il centro del cerchio; il centro del cerchio sta nel mezzo del diametro; il diametro che consideriamo è quello che parte dall’estremo della I_o ed è orizzontale, parallelo cioè all’asse delle ascisse. Per individuarlo come diametro si fa partire dal punto P_o una semiretta orizzontale che, nel punto di intersezione con l’asse della corda P_oP_cc, individua finalmente il centro C.

Ø Col compasso si centra C, con apertura pari al raggio P_oC e si costruisce finalmente il cerchio, che sicuramente passerà anche per P_cc.

 

Ø Il cerchio è il luogo geometrico degli estremi di tutte le correnti di statore e se ne disegna una qualsiasi, che parte dall’origine degli assi e arriva nel generico punto P. Da P si abbassa la verticale fino al punto A, posto sull’ascissa. Il segmento PA vale

e quindi è la componente attiva della corrente in esame.

Tuttavia, considerando la radice quadrata di 3 e la tensione di alimentazione, il segmento può rappresentare, in opportuna scala, la potenza assorbita quando il motore assorbe la corrente I₁.

La scala delle potenze assorbite, ricordando quella scelta per le correnti, diventa

Ø L’asse delle ascisse diventa la linea di riferimento delle potenze assorbite: a partire dall’estremo di una corrente statorica, abbassando la verticale, si troverebbe la componente attiva della corrente, che però nella scala delle potenze reali diventa la potenza assorbita dal motore.

In particolare, potendosi ritenere costanti le perdite meccaniche e nel ferro per qualunque corrente di carico, la semiretta uscente da P_o e parallela a quella delle potenze assorbite, delimita il tratto in cui le perdite a vuoto saranno sempre ritenute costanti.

Si riprenderà in seguito qualche chiarimento in merito.

Ø La potenza assorbita massima si ha tracciando la parallela all’asse delle potenze assorbite, tangente al cerchio e misurando la distanza rispetto al "livello zero delle potenze assorbite" (è la verticale che passa per il centro del cerchio e vale P_{a Max} in fig. 3).

Ø La retta delle potenze rese all’albero (la potenza meccanica utile) si può individuare trovando due punti di funzionamento per i quali la potenza resa sia nulla:

- un punto è P_o, perché a vuoto il motore non trascina alcun carico;

- un altro punto è P_cc, poiché con il rotore bloccato non si fornisce potenza utile.

La retta passante per P_o e P_cc è quindi la retta di riferimento delle potenze rese.

Partendo da una corrente di carico qualsiasi (ad esempio la corrente I₁), si misura la lunghezza del segmento PB e la si moltiplica per la scala delle potenze, ottenendo così la potenza sull’albero, per la condizione di lavora scelta.

Ø La potenza resa massima si ha individuando la tangente al cerchio, parallela alla retta di riferimento delle potenze rese (segmento P_{r Max}).

Ø Poiché per il segmento PQ valgono le espressioni analoghe a quelle ricavate per il riferimento della potenza assorbita dal motore

si conclude che l’asse delle ordinate può essere considerato il riferimento della potenza reattiva, scambiata fra la rete di alimentazione e il motore. La scala ha la stessa misura ricavata per le potenze reali, ma ovviamente l’unità di misura è il var.

Ø Per il riferimento della potenza sincrona occorre individuare il segmento P_ccE, dalla verticale passante per il punto a scorrimento unitario. Dal punto F si riporta, con la scala delle potenze, la perdita nel rame di statore prodotta dalla I_cc e data dalla relazione

a cui corrisponde, in watt, il segmento FG.

Ø Definita la retta di riferimento delle potenze sincrone, considerata la proporzionalità fra potenza e coppia sincrona, in base alla relazione

si può considerare la stessa retta come riferimento per la coppia sincrona, cambiando semplicemente la scala.

· la coppia prodotta nella condizione di funzionamento in P, data dal segmento verticale PK;

· la coppia all’avviamento o coppia di spunto P_ccG;

· la coppia massima, ottenuta tracciando la tangente al cerchio, parallela alla retta di riferimento delle coppie (segmento T_Max). La zona di funzionamento stabile è compresa fra P_o e il punto di coppia massima; il tratto instabile fra il punto di coppia massima e P_cc.

 

 

Dal diagramma di fig. 3, per la condizione di carico che corrisponde al punto P, si deducono, nelle rispettive scale:

· corrente assorbita I₁ = PO nella scala delle correnti

· corrente a vuoto I_o = P_oO nella scala delle correnti

· corrente di reazione I’₁ = PP_o nella scala delle correnti

· fattore di potenza del motore in quella condizione di carico = cosφ₁

· potenza attiva assorbita = PA nella scala delle potenze

· potenza reattiva = PQ

· potenza resa = PB

· potenza sincrona = PK

· perdita nel rame di statore = KL

· perdita nel rame di rotore = BK

· perdite meccaniche e perdite nel ferro = LA

· coppia generata = PK (nella scala delle coppie)

· scorrimento =BK/PK, essendo s=P_cu2/P_s (sul diagramma questo rapporto è di difficile lettura, viste le dimensioni dei segmenti)

· rendimento = PB/PA = P_resa/P_assorbita (anch’esso di difficile determinazione per l’esiguità dei segmenti)

Per rendere più precisa la determinazione dello scorrimento e del rendimento si utilizzano costruzioni grafiche particolari, che consistono in un’amplificazione di scale sfruttando dei triangoli simili.

a) tracciare la tangente alla circonferenza in P_o (con la costruzione corretta del diagramma, la tangente non sarà verticale);

b) prolungare la retta delle potenze rese;

c) individuare, parallelamente alla retta delle coppie, un segmento divisibile in 100 parti, compreso tra la tangente e il prolungamento della retta delle potenze rese.

d) Per conoscere lo scorrimento che corrisponde alla condizione di carico individuata ad esempio dal punto P, si prolunga la corrente di reazione che parte da P_o e va a tagliare in s₁ la retta di riferimento degli scorrimenti. Se la scala va da 0 a 1 si legge lo scorrimento; se è divisa da 0 a 100 si legge lo scorrimento percentuale.

Si osservi che i triangoli individuati dai punti 1-0-P_o e P-K-P_o sono simili, come pure s₁-0-P_o e B-K-P_o. La costruzione ha amplificato la lettura delle grandezze P_cu2 = BK e P_s1 = PK.

 

a) Si prolunga la retta di riferimento delle potenze rese P_oP_cc fino ad incontrare l’ascissa nel punto W e si prosegue fino ad R₀.

b) Da W si traccia la parallela alla tangente al cerchio in P_o (con il cerchio avente il centro corretto la tangente in P_o non è verticale come qui).

c) Fra queste due direzioni si traccia un segmento orizzontale che sarà diviso in 100 parti uguali (scala che va da 0 a 1, o da 0 a 100 per il η%).

d) Il rendimento relativo al generico punto P si ottiene partendo dall’estremo della corrente in gioco e passando per il punto W fino a tagliare la retta del rendimento, dove se ne legge il valore direttamente.

La giustificazione del procedimento grafico è simile a quella relativa al calcolo dello scorrimento. Il rendimento relativo al funzionamento nel punto P si ottiene dal rapporto fra potenza resa PB e la potenza assorbita PA. Poiché i segmenti sono di dimensioni ridotte, anche qui si ricorre ad un’amplificazione grafica delle scale, sfruttando la similitudine fra triangoli, facilmente individuabili dal grafico di fig. 5.

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